2016年考研數學一難度系數(2016年考研數學一難不難)
2025-03-1833次
大家好！本文和大家分享一下這道2016年高考全國3卷理科數學的壓軸題。這道題綜合考查了導數的計算、導數與函數的最值、分類討論等知識。作為一道壓軸題，題目的難度自然是不小的，正確率更是不到5％。下面我們就來一起看一下這道題高考壓軸題。
先看第一小問：求導數。
要求導數，首先要掌握基本函數的導數，本題中涉及到的基本函數的導數有：(c)'=0，c為常數；(cosx)'=-sinx；(sinx)'=cosx；(ax)'=a；復合函數的導數為外層函數的導數與內層函數的導數的積。
掌握了上面的知識再求f(x)的導數就簡單了。即f'(x)=a(cos2x)'+(a-1)(cosx)'=a(-sin2x)×2+(a-1)(-sinx)=-2asin2x-(a-1)sinx。
再看第二小問：求|f(x)|的最大值a。
要求a，實際上就是求|f(x)|≤a，看到這兒就可以想到絕對值不等式。絕對值不等式有兩種形式：①|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≤0時左邊取等號，當且僅當ab≥0時右邊取等號；②|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≥0時左邊取等號，當且僅當ab≤0時右邊取等號。
但是在用絕對值不等式求解的過程中可以發現，當0＜a＜1時，不滿足取等的條件，所以此時要用另外的方法求解，即構造新函數，用導數來求最值。
當a≥1時，可以直接用絕對值不等式求解，這種情況下比較簡單，過程見下圖。
當0＜a＜1時，先將f(x)變形，即用二倍角余弦公式變成只含有cosx的形式，然后再換元，變成一個二次函數。這個二次函數的開口向上，并且定義域為[-1,1]，所以原問題就變成了求這個二次函數在[-1,1]上的絕對值的最大值。二次函數在某個閉區間上絕對值的最大值在什么地方取得呢？兩種情況，一是在端點處函數值的絕對值，二是頂點縱坐標的絕對值。當然，如果最大值是頂點縱坐標的絕對值，那么說明頂點在區間內，所以我們還需要進一步分為對稱軸在區間內和在區間外進行更詳細的討論。詳細過程見下圖。
最后看第三小問：證明|f'(x)|≤2a。
在第二小問中，我們將a分成了三種情況來討論，所以在第三小問中也按照前面的分類來討論，然后進行適當的放縮即可證明結論。
這道壓軸題的難度還是不小，特別是第二小問讓很多同學不知所措。當然，作為一道壓軸題，肯定不是人人都會做的，但是在考試中也不要輕易放棄，再難的解答題都會有相對容易的小問，比如本題中的第一小問就是送分題，相信大部分考生都是能做出來的。
2016年考研數學一難度(2016年考研數學一難度分析)
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